Question

已知S_n為數列{a_n}的前n項和，且a₁=1，S_n+1=a_n+1（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足b n=

n

4an

，其前n項和為T_n，
①求證：

1

4

≤Tn＜1
②是否存在最小整數m，使得不等式

n

k-1

k+2

Sk•(Tk+k+1)

＜m對任意真整數n恒成立，若存在，求出m的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）在數列遞推式中取n=n-1得另一遞推式，作差后即可證得數列為等比數列，代入等比數列的通項公式能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）①把數列{a_n}的通項代入b_n=

n

4an

，利用錯位相減法求數列{b_n}的前n項和T_n，由此能證明

1

4

≤Tn＜1．
②把S_k，T_k代入

k+2

Sk(Tk+k+1)

，整理后利用裂項相消法化簡，放縮后可證得數列不等式

n

k-1

k+2

Sk•(Tk+k+1)

=2(1-

1

2k+1-1

)＜2，由此能求出m的取值范圍．

解答： （1）解：當n=1時，a₂=S₁+1=a₁+1=2，
當n≥2時，S_n+1=a_n+1，S_n-1+1=a_n，
兩式相減得a_n+1=2a_n，
又a₂=2a₁，
{a_n}是首項為1，公比為2的等比數列，
∴an=2n-1．
（2）①證明：由（1）得an=2n-1，
∴bn=

n

4an

=

n

4•2n-1

=

n

2n+1

，
∴T_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，①

1

2

Tn=

1

23

+

2

24

+

3

24

+…+

n

2n+2

，②
①-②，得

1

2

Tn=

1

22

+

1

23

+…+

1

2n+1

-

n

2n+2

=

1 22 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+2

=

1

2

-

n+2

2n+2

，
∴Tn=1-

n+2

2n+1

＜1，
又{T_n}是增數列，∴（T_n）_min=T₁=1-

1+2

22

=

1

4

，
∴

1

4

≤Tn＜1．
②解：設c_k=

k+2

Sk(Tk+k+1)

，
則c_k=

k+2

Sk(Tk+k+1)

=

k+2

(2k-1)(1- k+2 2k+1 +k+1)

=

1

(2k-1)(1- 1 2k+1 )

=

2k+1

(2k-1)(2k+1-1)

=2（

1

2k-1

-

1

2k+1-1

），
∴

n

k-1

k+2

Sk•(Tk+k+1)

=

n

k=1

2(

1

2k-1

-

1

2k+1-1

)
=2(1-

1

2k+1-1

)＜2，
∵

n

k-1

k+2

Sk•(Tk+k+1)

＜m對任意正整數n恒成立，∴m≥2．

點評：本題考查了等比關系的確定，考查了裂項相消法與錯位相減法求數列的和，訓練了放縮法證明數列不等式，是壓軸題．