Question

若函數f（x）=ax+sinx的圖象上存在互相垂直的切線，則實數a的值為

0

．

Answer 1

分析：先求導函數，假設函數f（x）=ax+sinx的圖象上存在互相垂直的切線，不妨設在x=m與x=n處的切線互相垂直則（a+cosm）（a+cosn）=-1，然后整理，根據a的值必然存在，△≥0可求出a的值．

解答：解：∵f（x）=ax+sinx
∴f′（x）=a+cosx，
假設函數f（x）=ax+sinx的圖象上存在互相垂直的切線，
不妨設在x=m與x=n處的切線互相垂直
則（a+cosm）（a+cosn）=-1
∴a²+（cosm+cosn）a+（cosmcosn+1）=0   （*）
因為a的值必然存在，即方程（*）必然有解，所以
判別式△=（cosm+cosn）²-4（cosmcosn+1）≥0
所以  cos²m+cos²n-2cosmcosn=（cosm-cosn）²≥4
解得cosm-cosn≥2  或   cosm-cosn≤-2
由于|cosx|≤1，所以有cosm=1，cosn=-1  或 cosm=-1，cosn=1，且△=0
所以（*）變?yōu)椋篴²=0所以a=0
故答案為：0

點評：本題主要考查了導數的幾何意義，以及判別式判定方程的根，同時考查了函數與方程的思想和計算能力，屬于中檔題．