Question

函數y=-x²+mx-1與以A（0，3）、B（3，0）為端點的線段（包含端點）有兩個不同的公共點，則實數m的取值范圍是

（3，

10

3

]

．

Answer 1

分析：由題意可求線段AB所在的直線的解析式為y=-x+3（0≤x≤3），由拋物線與線段所在的線段y=-x+3（0≤x≤3）有兩個不同的交點，可得方程x²-（1+m）x+4=0，在[0，3]上應該有兩個不相等的實數根即f（x）=x²-（m+1）x+4在[0，3]與x軸上有2個交點，結合二次函數的性質可求

解答：解：設線段AB所在的直線的解析式為y=kx+b，
分別把（3，0），（0，3）代入可得，0=3k+b，3=b
解得k=-1，b=3
所以，線段AB所在的直線的解析式為y=-x+3（0≤x≤3）
聯立y=-x+3，y=-x²+mx-1
得x²-（1+m）x+4=0
因為拋物線與線段所在的線段y=-x+3（0≤x≤3）有兩個不同的交點，
所以方程x²-（1+m）x+4=0在[0，3]上應該有兩個不相等的實數根
令f（x）=x²-（1+m）x+4
∴

△=(1+m)2-16＞0 0＜ 1+m 2 ＜3 f(0)=4＞0 f(3)=13-3(1+m)≥0

∴3＜m≤

10

3

故答案為：（3，

10

3

]

點評：本題主要考查了直線與曲線的相交關系的應用，解題中要注意解題中的x的范圍限制．