向量
a
,
b
滿足|
a
|=|
b
|=1,|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|,(k>0).
(1)求
a
b
關(guān)于k的解析式f(k);
(2)請(qǐng)你分別探討
a
b
a
b
的可能性,若不可能,請(qǐng)說明理由,若可能,求出k的值;
(3)求
a
b
夾角的最大值.
分析:(1)對(duì)已知式子平方化簡可得
a
b
,即得f(k);(2)由于
a
b
=
k2+1
4k
>0,故
a
b
不可能垂直.若
a
b
,只可能同向,可得
a
b
=
k2+1
4k
=1,解此方程可得;(3)代入夾角公式可得cosθ=
a
b
|
a
||
b
|
=
1
4
(k+
1
k
)
,由基本不等式可得其最值,由夾角的范圍結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可得.
解答:解:(1)由已知有|k
a
+
b
|2=(
3
|
a
-k
b
|)2,
又∵|
a
|=|
b
|=1,則可得
a
b
=
k2+1
4k
(k>0)
即f(k)=
k2+1
4k
(k>0)…(4分)
(2)∵k>0,
a
b
=
k2+1
4k
>0,故
a
b
不可能垂直.
a
b
,又
a
b
>0,則
a
b
只可能同向,
故有
a
b
=
k2+1
4k
=1,即k2-4k+1=0,
又k>0,故k=
3
,
∴當(dāng)k=
3
時(shí),
a
b
…(8分)
(3)設(shè)
a
,
b
的夾角為θ,則
cosθ=
a
b
|
a
||
b
|
=
a
b
=
k2+1
4k
=
1
4
(k+
1
k
)
1
4
×2
k•
1
k
=
1
2

當(dāng)且僅當(dāng)k=
1
k
,(k>0)即k=1時(shí),取等號(hào),即(cosθ)min=
1
2
,
又0≤θ≤π,故θ的最大值為
π
3
.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查平面向量的數(shù)量積,涉及向量的共線與垂直以及基本不等式的應(yīng)用,屬中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列命題中正確的有( �。�
①若向量a與b滿足a•b<0,則a與b所成角為鈍角;
②若向量a與b不共線,m=λ1•a+λ2•b,n=μ1•a+μ2•b,(λ1,λ2μ1,μ2∈R),則m∥n的充要條件是λ1•μ22•μ1=0;
③若
OA 
+
OB
+
OC 
=0
,且|
OA 
|=|
OB
|=|
OC 
|
,則△ABC是等邊三角形;
④若a與b非零向量,a⊥b,則|a+b|=|a-b|.
A、②③④B、①②③C、①④D、②

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
,
b
滿足|
a
|=1,|
b
|=2,且
a
b
方向上的投影與
b
a
方向上的投影相等,則|
a
-
b
|等于(  )
A、3
B、
5
C、
3
D、1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知平面向量
a
,
b
滿足
|a|
=3,
|b|
=3,
|b|
=2,
a
b
的夾角為60°,若(
a
-m
b
)⊥
a
,則實(shí)數(shù)m的值為( �。�

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

非零向量
a
b
滿足|
a
+
b
|
=|
b
|
,則(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列有六個(gè)命題:
(1)y=tanx在定義域上單調(diào)遞增
(2)若向量
a
b
,
b
c
,則可知
a
c

(3)函數(shù)y=4cos(2x+
π
6
)
的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)為(
π
6
,0)

(4)非零向量
a
、
b
滿足|
a
+
b
|=|
a
-
b
|
,則可知
a
b
=0
(5)tan(2x+
π
3
)≥
3
的解集為[
1
2
kπ,
1
2
kπ+
π
3
)(k∈z)

其中真命題的序號(hào)為
(3)(4)
(3)(4)

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