Question

8．三棱錐P-ABC中，△ABC為正三角形且邊長為$\sqrt{3}$，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4π．

Answer 1

分析 平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，可得球心O在平面ABC上，且在AB邊的高CO上，利用△ABC為正三角形且邊長為$\sqrt{3}$，可得CO′=$\frac{3}{2}$，利用勾股定理建立方程，求出R，即可求出三棱錐P-ABC的外接球的表面積．

解答 解：∵平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，
∴球心O在平面ABC上，且在AB邊的高CO上
∵△ABC為正三角形且邊長為$\sqrt{3}$，
∴CO′=$\frac{3}{2}$
設(shè)三棱錐P-ABC的外接球的半徑為R，則R²=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+（$\frac{3}{2}$-R）²，
∴R=1，
∴三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4πR²=4π．
故答案為：4π．

點評 本題考查三棱錐P-ABC的外接球的表面積，考查學(xué)生的計算能力，確定球心的位置，求出三棱錐P-ABC的外接球的半徑是關(guān)鍵．