Question

已知f（x）=x+asinx．
（Ⅰ） 若a=2，求f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)常數(shù)a≠0時，設(shè)g（x）=

g(x)

x

，求g（x）在[

π

6

，

5π

6

]上的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=2代入f（x），然后對f（x）進行求導(dǎo)，可以令f′（x）＜0，解出x的范圍即可；
（Ⅱ）根據(jù)f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)得到f'（x）=1+acosx≥0對x∈（-∞，+∞）恒立．
法一：利用換元法，令t=cosx，則1+at≥0對t∈[-1，1]恒成立，利用一次函數(shù)的性質(zhì)得出關(guān)于a的不等關(guān)系即可求出實數(shù)a的取值范圍；
法二：分類討論法，對cosx的正負(fù)進行分類討論：當(dāng)cosx＞0時，a≥

-1

cosx

，即a≥(

-1

cosx

)max；當(dāng)cosx＜0時，a≤

-1

cosx

，即a≤(

-1

cosx

)min；當(dāng)cosx=0時，f（x）=1≥0恒成立，綜上所述，可得實數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）常數(shù)a≠0時，設(shè)g（x）=

f(x)

x

，利用求導(dǎo)法則，對g（x）進行求導(dǎo)，求出x在[0，π]上的極值點，利用導(dǎo)數(shù)研究其最值問題．

解答：解：（Ⅰ） 當(dāng)a=2時，f（x）=x+2sinx所以f'（x）=1+2cosx…．…．（1分）
當(dāng)f'（x）＜0時，cosx＜-

1

2

…．…．（2分）
所以 f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為[

2

3

π ， π]…．…．（4分）
（Ⅱ）∵f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，
∴f'（x）=1+acosx≥0對x∈（-∞，+∞）恒立．    …（5分）
法一：令t=cosx，則1+at≥0對t∈[-1，1]恒成立，…（7分）
∴

1+a(-1)≥0 1+a≥0

，解得-1≤a≤1，
∴實數(shù)a的取值范圍是[-1，1]．           …（9分）
法二：當(dāng)cosx＞0時，a≥

-1

cosx

，即a≥(

-1

cosx

)max，所以a≥-1…（6分）
當(dāng)cosx＜0時，a≤

-1

cosx

，即a≤(

-1

cosx

)min，所以a≤1…（7分）
當(dāng)cosx=0時，f（x）=1≥0恒成立，所以a∈R…（8分）
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[-1，1]．      …（9分）
（Ⅲ）g（x）=

f(x)

x

=1+

asinx

x

，∴g′（x）=

a(xcosx-sinx)

x2

，…（10分）
記h（x）=xcosx-sinx，x∈（0，π），
則h′（x）=-xsinx＜0對x∈（0，π）恒成立，…（11分）
∴h（x）在x∈（0，π）上是減函數(shù)，
∴h（x）＜h（0），即g′（x）＜0，…（12分）
①當(dāng)a＞0時，g（x）=

f(x)

x

在（0，π）上是減函數(shù)，
得g（x）在[

π

6

，

5π

6

]上為減函數(shù)．
∴當(dāng)x=

π

6

時，g（x）取得最大值1+

3a

π

；當(dāng)x=

5π

6

時，
g（x）取得最小值1+

3a

5π

．…（13分）
②當(dāng)a＜0時，g（x）=

f(x)

x

在（0，π）上是增函數(shù)，
得g（x）在[

π

6

，

5π

6

]上為增函數(shù)．
∴當(dāng)x=

π

6

時，g（x）取得最大值1+

3a

5π

；
當(dāng)x=

5π

6

時，g（x）取得最小值1+

3a

π

．…（14分）

點評：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，解題的關(guān)鍵是能夠?qū)�g（x）進行正確求導(dǎo)，此題是一道中檔題．