分析 以D為原點,DA、DC、DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標系,
利用坐標表示|→PA|=2,則點P的軌跡是以A為球心,2為半徑的球面一部分;
計算→PC1•→PD1=x2+(y-1)2+(z-2)2-1,
它表示點P到點M(0,1,2)的距離的平方再減去1;
由圖形知P為AM與所在的球面交點時,→PC1•→PD1的值最小,
求出點P的坐標,利用數(shù)量積求出→PC1與→PD1的夾角.
解答 解:以D為原點,DA、DC、DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標系,
如圖所示;
由棱長為2,得A(2,0,0),C1(0,2,2),D1(0,0,2),
設P(x,y,z),
由且|→PA|=2,則(x-2)2+y2+z2=4①,
點P的軌跡表示以A為球心,以2為半徑的球面的一部分;
又→PC1=(-x,2-y,2-z),→PD1=(-x,-y,2-z),
∴→PC1•→PD1=x2-2y+y2+(z-2)2
=x2+(y-1)2+(z-2)2-1②,
它表示點P到點M(0,1,2)的距離的平方再減去1;
由圖形知,當P為AM與①所在的球面交點時,→PC1•→PD1的值最小,
此時AM=3,AP=2;
∴x=23,y=23,z=43;
∴→PC1•→PD1=(23)2+(23−1)2+(43−1)2-1=0,
∴→PC1與→PD1夾角為90°.
故答案為:90°.
點評 本題考查了空間直角坐標系與空間向量的應用問題,是較難的題目.
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A. | 2 | B. | \frac{8}{3} | C. | \frac{25}{6} | D. | 4 |
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