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18.已知點P為棱長等于2的正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)部一動點,且|PA|=2,則PC1PD1的值達到最小時,PC1PD1夾角大小為90°.

分析 以D為原點,DA、DC、DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標系,
利用坐標表示|PA|=2,則點P的軌跡是以A為球心,2為半徑的球面一部分;
計算PC1PD1=x2+(y-1)2+(z-2)2-1,
它表示點P到點M(0,1,2)的距離的平方再減去1;
由圖形知P為AM與所在的球面交點時,PC1PD1的值最小,
求出點P的坐標,利用數(shù)量積求出PC1PD1的夾角.

解答 解:以D為原點,DA、DC、DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標系,
如圖所示;
由棱長為2,得A(2,0,0),C1(0,2,2),D1(0,0,2),
設P(x,y,z),
由且|PA|=2,則(x-2)2+y2+z2=4①,
點P的軌跡表示以A為球心,以2為半徑的球面的一部分;
PC1=(-x,2-y,2-z),PD1=(-x,-y,2-z),
PC1PD1=x2-2y+y2+(z-2)2
=x2+(y-1)2+(z-2)2-1②,
它表示點P到點M(0,1,2)的距離的平方再減去1;
由圖形知,當P為AM與①所在的球面交點時,PC1PD1的值最小,
此時AM=3,AP=2;
∴x=23,y=23,z=43;
PC1PD1=232+2312+4312-1=0,
PC1PD1夾角為90°.
故答案為:90°.

點評 本題考查了空間直角坐標系與空間向量的應用問題,是較難的題目.

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