Question

【題目】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在斜率為2的直線，使得當(dāng)直線與橢圓有兩個不同交點(diǎn)時，能在直線上找到一點(diǎn)，在橢圓上找到一點(diǎn)，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 不存在滿足條件的點(diǎn)

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓幾何意義得 解得（2）由知為平行四邊形,即的中點(diǎn)也是的中點(diǎn). 設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及韋達(dá)定理得坐標(biāo)（用t表示），最后根據(jù)判別式大于零得t范圍，得坐標(biāo)范圍，根據(jù)范圍不在橢圓范圍內(nèi)，否定存在性

試題解析：（1）由題意知：， aos

又因?yàn)?/span>， ，解得

故橢圓的方程為．

（2）橢圓上不存在這樣的點(diǎn).事實(shí)上，設(shè)直線的方程為,

聯(lián)立，得,

，得.

設(shè)，則，.

由知為平行四邊形,而為的中點(diǎn),也是的中點(diǎn).

于是設(shè), ,則,

即 ，可得.

因?yàn)?/span>,所以.

若在橢圓上，則，矛盾.

因此,不存在滿足條件的點(diǎn)．