Question

在xoy平面上有一系列點(diǎn)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）…，P_n（x_n，y_n），…，（n∈N*），點(diǎn)P_n在函數(shù)y=x²（x≥0）的圖象上，以點(diǎn)P_n為圓心的圓P_n與x軸都相切，且圓P_n與圓P_n+1又彼此外切．若x₁=1，且x_n+1＜x_nx₁=1．
（I）求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)圓P_n的面積為S_n，，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意圓P_n與P_n+1彼此外切，利用兩圓外切等價(jià)于兩圓心距等于圓的半徑，化簡(jiǎn)出數(shù)列{x_n}的遞推關(guān)系，進(jìn)而得到數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式．
（II）由于圓P_n的面積為S_n利用圓的面積公式求出，又有題中T_n的式子特點(diǎn)，利用裂項(xiàng)相消法，求出T_n，在利用簡(jiǎn)單的去一項(xiàng)即可得證．
解答：解：（I）圓P_n與P_n+1彼此外切，令r_n為圓P_n的半徑，
∴|P_nP_n+1|=r_n+r_n+1即
兩邊平方并化簡(jiǎn)得（x_n-x_n+1）²=4y_ny_n+1
由題意得，圓P_n的半徑r_n=y_n=x_n²，（x_n-x_n+1）²=4x_n²x_n+1²
∵x_n＞x_n+1＞0；∴x_n-x_n+1=2x_nx_n+1，即
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
所以+（n-1）×2=2n-1，即
（II），
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所以，
點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了兩元相外切的等價(jià)條件，還考查了有數(shù)列的遞推關(guān)系求其通項(xiàng)公式，及裂項(xiàng)相消的求和方法，還考查了去一項(xiàng)進(jìn)行了簡(jiǎn)單的放縮．