Question

函數(shù)f=（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，φ＞0，|φ|＜

π

2

）部分圖象如圖所示．
（1）求的最小周期及解析式．
（2）設(shè)g（x）=f（x）-2cos2x，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)的圖象，求出A，T，然后求出ω，利用f（

π

6

）=2，求出φ，即可求出函數(shù)的解析式．
（2）通過(guò)g（x）=f（x）-2cos2x，利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過(guò)[0，

π

2

]求出相位的范圍，然后求出函數(shù)的最大值和最小值．

解答：解：（1）由圖可得A=2，

T

2

=

2π

3

-

π

6

=

π

2

，所以T=π．
因?yàn)?span id="nlm7yh5" class="MathJye">T=

2π

ω

所以ω=2．                              …（2分）
當(dāng)x=

π

6

時(shí)，f（x）=2，可得 2sin(2•

π

6

+φ)=2，
因?yàn)?span id="t0tmqzu" class="MathJye">|φ|＜

π

2

，所以φ=

π

6

．           …（4分）
所以f（x）的解析式為f(x)=2sin(2x+

π

6

)．   …（5分）
（2）g(x)=f(x)-2cos2x=2sin(2x+

π

6

)-2cos2x
=2sin2xcos

π

6

+2cos2xsin

π

6

-2cos2x
=

3

sin2x-cos2x…（8分）
=2sin(2x-

π

6

)．              …（10分）
因?yàn)?span id="7icfrkf" class="MathJye">x∈[0，

π

2

]，所以-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

．
當(dāng)2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時(shí)，函數(shù)g（x）有最大值，最大值為：2     …（12分）
當(dāng)2x-

π

6

=-

π

6

，即x=0時(shí)，函數(shù)g（x）有最小值，最小值為-1．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，兩角和與差的三角函數(shù)應(yīng)用，正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查計(jì)算能力．