Question

如圖所示，凸多面體ABCED中，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，
BC=，CE=2，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AF∥平面BDE；
（2）求證：平面BDE⊥平面BCE．

Answer 1

【答案】分析：（1）取BE的中點(diǎn)G，利用GF為三角形BCE的中位線，證明四邊形GFAD為平行四邊形，從而證明AF∥平面BDE．
（2）先證AF⊥平面BCE，由AF∥GD可得GD⊥平面BCE，進(jìn)而證明平面BDE⊥平面BCE．
解答：證明：（1）取BE的中點(diǎn)G，連接GF，GD，∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，∴AD∥EC，且平面ABC⊥平面ACED，
∵GF為三角形BCE的中位線，∴GF∥EC∥DA，GF=CE=DA，
∴四邊形GFAD為平行四邊形，∴AF∥GD，又GD?平面BDE，AF∥平面BDE．
（2）∵AB=AC，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∴AF⊥BC，又GF⊥AF，∴AF⊥平面BCE，
∵AF∥GD，∴GD⊥平面BCE，又GD?平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCE．
點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線面平行、面面垂直的方法，取BE的中點(diǎn)G，證明四邊形GFAD為平行四邊形，是解題的關(guān)鍵．