Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

x+1

x-1

，（a＞0，且a≠1）．
（1）求函數(shù)的定義域，并證明：f（x）=log_a

x+1

x-1

在定義域上是奇函數(shù)；
（2）對于x∈[2，4]，f（x）=log_a

x+1

x-1

＞log_a

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由

x+1

x-1

＞0解得定義域，在定義域范圍內(nèi)考察f（-x）=-f（x）成立．
（2）根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為真數(shù)大小關(guān)系恒成立，再利用分離參數(shù)法求m范圍．

解答：解�。�1）由

x+1

x-1

＞0，解得x＜-1或x＞1，
∴函數(shù)的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞）．
當x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時，f（-x）=log_a

-x+1

-x-1

=log_a

x-1

x+1

=-log_a

x+1

x-1

=-f（x），
∴f（x）=log_a

x+1

x-1

在定義域上是奇函數(shù)．
（2）由x∈[2，4]時，f（x）=log_a

x+1

x-1

＞log_a

m

(x-1)2(7-x)

恒成立，
①當a＞1時，
∴

x+1

x-1

＞

m

(x-1)2(7-x)

對x∈[2，4]恒成立．
∴0＜m＜（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立．
設(shè)g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]
則g（x）=-x³+7x²+x-7，
g′（x）=-3x²+14x+1，
∴當x∈[2，4]時，g′（x）＞0．
∴y=g（x）在區(qū)間[2，4]上是增函數(shù)，g（x）_min=g（2）=15．
∴0＜m＜15．
②當0＜a＜1時，由x∈[2，4]時，
f（x）=log_a

x+1

x-1

＞log_a

m

(x-1)2(7-x)

恒成立
∴

x+1

x-1

＜log_a

m

(x-1)2(7-x)

對x∈[2，4]恒成立．
∴m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立．
設(shè)g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]，
由①可知y=g（x）在區(qū)間[2，4]上是增函數(shù)，
g（x）_max=g（4）=45，∴m＞45．
∴m的取值范圍是（0，15）∪（45，+∞）．

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性的判定，不等式恒成立問題，函數(shù)最值求解，考查運算求解能力．