Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中AA₁=AD=1，E為CD中點．
（1）求證：B₁E⊥AD₁；
（2）在棱AA₁上是否存在一點P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）證明：連接A₁D，B₁C，
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，
∴A₁D⊥AD₁，
∵A₁B₁⊥平面A₁ADD₁，
∴AD₁⊥A₁B₁，
∵A₁D∩A₁B₁=A₁，∴AD₁⊥平面A₁B₁CD，
∵B₁E?平面A₁B₁CD，
∴B₁E⊥AD₁；
（2）解：存在AA₁的中點P，使得DP∥平面B₁AE，證明如下：
取AA₁的中點P，AB₁的中點Q，連接PQ，
則PQ∥A₁B₁，且PQ=A₁B₁，
∵DE∥A₁B₁，且DE=A₁B₁，∴PQ∥DE且PQ=DE
∴四邊形PQDE為平行四邊形，∴PQ∥DE
又PD?平面AB₁E，QE⊆平面AB₁E
∴PD∥平面AB₁E
此時AP=AA₁．
分析：（1）連接A₁D，B₁C，證明AD₁⊥平面A₁B₁CD，即可證得結論；
（2）取AA₁的中點P，AB₁的中點Q，連接PQ，利用三角形的中位線的性質，可得線線平行，從而可得線面平行．
點評：本題考查線面垂直，線面平行，考查學生分析解決問題的能力，掌握線面垂直，線面平行的判定方法是關鍵．