Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ），向量$\overrightarrow$=（1，-$\sqrt{3}$），則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的最大值是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 求得|$\overrightarrow{a}$|，|$\overrightarrow$|，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=cosθ-$\sqrt{3}$sinθ=2cos（θ+$\frac{π}{3}$），再由向量的平方即為模的平方，結(jié)合余弦函數(shù)的值域，即可得到所求最大值．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ），向量$\overrightarrow$=（1，-$\sqrt{3}$），
可得|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}$=1，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{1+3}$=2，
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=cosθ-$\sqrt{3}$sinθ=2cos（θ+$\frac{π}{3}$），
可得|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$
=$\sqrt{5-4cos（θ+\frac{π}{3}）}$，
當(dāng)cos（θ+$\frac{π}{3}$）=-1，即θ=2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z時，取得最大值為3，
故選：C．

點評 本題考查向量的模和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量的平方即為模的平方，考查三角函數(shù)的輔助角公式和余弦函數(shù)的值域，考查運算能力，屬于中檔題．