Question

7．已知△ABC的三個頂點A（-1，0），B（1，0），C（2，3），其外接圓為圓H．
（Ⅰ）求圓H的方程；
（Ⅱ）若直線l過點C，且被圓H截得的弦長為2，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)圓H的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，把△ABC的三個頂點A（-1，0），B（1，0），C（2，3）代入，能求出圓H的方程．
（Ⅱ）圓H：x²+y²-4y-1=0的圓心H（0，2），半徑r=$\sqrt{5}$，當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=2；當直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y=k（x-2）+3，圓心H（0，2）到直線l：y=k（x-2）+3的距離d=r，由經(jīng)能求出直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)圓H的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵△ABC的三個頂點A（-1，0），B（1，0），C（2，3），其外接圓為圓H，
$\left\{\begin{array}{l}{1-D+F+0}\\{1+D+F=0}\\{4+9+2D+3E+F=0}\end{array}\right.$，
解得D=0，E=-4，F(xiàn)=-1．
∴圓H的方程為x²+y²-4y-1=0．
（Ⅱ）圓H：x²+y²-4y-1=0的圓心H（0，2），半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{16+4}$=$\sqrt{5}$，
當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=2，
此時圓心H（0，2）到直線l：x=2的距離d=2，弦長為：2$\sqrt{{r}^{2}-nygihgo^{2}}$=2$\sqrt{5-4}$=2，成立；
當直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y=k（x-2）+3，
圓心H（0，2）到直線l：y=k（x-2）+3的距離d=$\frac{|-2-2k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|1-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵直線l過點C，且被圓H截得的弦長為2，
∴r²=d²+（$\frac{2}{2}$）²，即5=$\frac{（1-2k）^{2}}{{k}^{2}+1}$+1，解得k=-$\frac{3}{4}$，
∴直線l的方程為y=-$\frac{3}{4}$（x-2）+3，即3x+4y-9=0．
綜上，直線l的方程為x=2或3x+4y-9=0．

點評 本題考查圓的方程的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意待定系數(shù)法及點到直線的公式的合理運用．