Question

15．若函數(shù)f（x）=|x+2|-a|x-1|
（Ⅰ）a=-2時，解不等式f（x）＜6
（Ⅱ）若f（x）≤a|x+5|恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令a=-2，通過討論x的范圍，求出各個區(qū)間上的x的范圍，取并集即可；（Ⅱ）利用參數(shù)分離法，轉(zhuǎn)化為求值函數(shù)的最值問題．

解答 解：（Ⅰ）a=-2時，|x+2|+2|x-1|＜6，
x≥1時，x+2+2x-2＜6，解得：x＜2，
-2＜x＜1時，x+2-2x+2＜6，解得：x＞-2，
x≤-2時，-x-2-2x+2＜6，解得：x＞-2，
綜上，不等式的解集是（-2，2）；
（Ⅱ）若f（x）≤a|x+5|恒成立，
則|x+2|≤a（|x-1|+|x+5|）恒成立，
即a≥$\frac{|x+2|}{|x-1|+|x+5|}$恒成立，
由|x-1|+|x+5|≥2|x+2|，
得$\frac{|x+2|}{|x-1|+|x+5|}$≤$\frac{|x+2|}{2|x+2|}$=$\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x≥1或x≤-5時“=“成立，
故a≥$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)將函數(shù)表示成分段函數(shù)形式是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力．