Question

已知定義在（-5，5）上的函數(shù)f（x）滿足f（a+b）=f（a）+f（b），且f（1）=2．
（1）求f（0），f(

1

2

)；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）若x＞0有f（x）＞0，求滿足f（3-2x）≤1的x的范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意，a=b=0，可求得f（0），再令a=b=

1

2

，可求得f（

1

2

）的值；
（2）利用賦值法a=x，b=-x，可得到f（-x）與f（x）的關(guān)系，從而可判斷函數(shù)的奇偶性．
（3）利用已知條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過函數(shù)的單調(diào)性求解不等式的解集．

解答：解：（1）定義域內(nèi)的任意a，b，f（x）都滿足f（a+b）=f（a）+f（b），
∴令a=b=0，得f（0）=0；
令a=b=

1

2

，得f（1）=2f（

1

2

）．
∵f（1）=2，
∴f（

1

2

）=1．
（2）令a=x，b=-x，有f（x-x）=f（x）+f（-x），
∵f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數(shù)．
（3）令a=x₁，b＞0，x₂=a+b，有f（x₂）=f（x₁）+f（b），
∵x＞0有f（x）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
函數(shù)在x＞0時，是增函數(shù)．
∵f（3-2x）≤1=f（

1

2

）．
∴3-2x≤

1

2

，解得x≥

5

4

，
又函數(shù)的定義域是（-5，5），∴-5＜3-2x＜5，解得-1＜x＜4，
∴x∈[

5

4

，4)．

點評：本題考查函數(shù)的值與函數(shù)奇偶性的判斷單調(diào)性的判斷，著重考查賦值法的靈活運用，考查觀察與分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．