Question

（本小題滿分12分）
已知函數(shù)，若，則稱為的“不動點(diǎn)”；若，則稱為的“穩(wěn)定點(diǎn)”。記集合
（1）已知，若是在上單調(diào)遞增函數(shù)，是否有？若是，請證明。
（2）記表示集合中元素的個(gè)數(shù)，問：
若函數(shù)，若,則是否等于0？若是，請證明
若，試問：是否一定等于1？若是，請證明

Answer 1

(1) (2),是不一定等于1。

解析試題分析：（1）證明：先證 任取，則

再證 任取
若，不妨設(shè)
由單調(diào)遞增可知： 與 矛盾
同理也矛盾，所以

綜上：
（2）①若 由于無實(shí)根 則對任意實(shí)數(shù)x，
從而 故無實(shí)根
同理若對任意實(shí)數(shù)x， ，從而 
故也無實(shí)根

②不妨設(shè)是B中唯一元素 則
令 那么 而
故 說明t也是的不動點(diǎn)
由于 只有唯一的不動點(diǎn)  故 即
這說明t也是的不動點(diǎn)，從而存在性得證
以下證明唯一性：若還有另外一個(gè)不動點(diǎn)m，即
則 這說明還有另外一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)m
與題設(shè)矛盾。
考點(diǎn)：本試題考查了函數(shù)的新定義的運(yùn)用。
點(diǎn)評：結(jié)合新定義，和已學(xué)的函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，來分析函數(shù)的最值， 同時(shí)對于不動點(diǎn)的問題，要加以轉(zhuǎn)化為方程根的問題來處理，屬于中檔題。