Question

已知函數(shù)f（x）=x²+lnx（其中a≠0）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）＜-恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）因為函數(shù)f（x）=x²+lnx，
則=
①當a＞0時f′（x）＞0在x∈（0，+∞）恒成立，

②當a＜0時，令f′（x）=0，
時，f′（x）＞0，f（x）  為增函數(shù)，
時，f′（x）＜0，f（x） 為減函數(shù)
綜上，a＞0 時，f（x） 增區(qū)間為（0，+∞）…（4分）
a＜0 時，f（x）的增區(qū)間為，減區(qū)間
（2）由（1）知a＞0 時，在f（x）在（0，+∞）遞增，
且x=1時，f（1），
則
∴不恒成立，
故a＜0
又f（x）的極大值即f（x）最大
因為
只須
∴，即，
∴-2＜a＜0
即a的取值范圍是（-2，0）
分析：（1）求出導函數(shù)，當a＞0時f′（x）＞0在x∈（0，+∞）恒成立，得到f（x）在（0，+∞）上遞增，當a＜0時，令導函數(shù)大于0求出遞增區(qū)間；導函數(shù)小于0求出遞減區(qū)間．
（2）利用（1）的單調(diào)性，求出函數(shù)f（x）的極值，進一步求出函數(shù)的最值，得到參數(shù)a的范圍．
點評：利用導數(shù)求函數(shù)的在區(qū)間上的最值，應該先求出導函數(shù)，判斷出導函數(shù)的符號得到函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，同時求出函數(shù)的區(qū)間端點值，選出最值．