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15.在四棱錐C-ABEF中,底面ABEF是矩形,F(xiàn)A⊥平面ABC,D是棱AB的中點,點H在棱BE上.且AC=BC=2,AB=2,AF=3.
(1)設BH=λBE,若FH⊥平面DHC,求λ的值:
(2)在(1)的條件下,求當λ>12時,平面DCF與平面CFH所成銳二面角的余弦值.

分析 (1)過C作CG⊥平面ABC,以C為原點,CA為x軸,CB為y軸,CG為z軸建立直角坐標系,利用FH⊥平面DHC,建立方程,即可求λ的值;
(2)求出平面DCF的一個法向量、平面HCF的一個法向量,利用向量的夾角公式,即可求當λ>12時,平面DCF與平面CFH所成銳二面角的余弦值.

解答 解:(1)∵AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°
過C作CG⊥平面ABC,以C為原點,CA為x軸,CB為y軸,CG為z軸建立直角坐標系,
則A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,0),D(22,22,0),
E(0,2,3),F(xiàn)(2,0,3),H(0,2,3λ)
FH=(-223λ3),CD=(22220),CH=(0,23λ),
∵FH⊥平面DHC,∴FHCD=0,且FHCH=0,
∴2+3λ(3λ-3)=0,
解得λ=13λ=23
(2)∵λ>12,∴λ=23,∴H(0,2,2),
設平面DCF的一個法向量為n=(x,y,z),則{nCD=0nCF=0,
CD=(22,22,0),CF=(203),
{22x+22y=02x+3z=0,取x=1,得n=(1,-1,23),
設平面HCF的一個法向量為m=(a,b,c),則{mFH=0mCH=0
FH=(-221),CH=(0,2,2),
{2a+2bc=02b+2c=0,取b=2,得m=(322,2,1),
設平面DCF與平面CFH所成銳二面角為θ,
則cosθ=|mn||m||n|=526209152=36
∴平面DCF與平面CFH所成銳二面角的余弦值為36

點評 本題考查線面垂直,考查二面角D-CF-H余弦值,正確建立坐標系,利用向量方法是關鍵.

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