Question

15．在四棱錐C-ABEF中，底面ABEF是矩形，F(xiàn)A⊥平面ABC，D是棱AB的中點，點H在棱BE上．且AC=BC=$\sqrt{2}$，AB=2，AF=3．
（1）設BH=λBE，若FH⊥平面DHC，求λ的值：
（2）在（1）的條件下，求當λ＞$\frac{1}{2}$時，平面DCF與平面CFH所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）過C作CG⊥平面ABC，以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CG為z軸建立直角坐標系，利用FH⊥平面DHC，建立方程，即可求λ的值；
（2）求出平面DCF的一個法向量、平面HCF的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求當λ＞$\frac{1}{2}$時，平面DCF與平面CFH所成銳二面角的余弦值．

解答 解：（1）∵AC²+BC²=AB²，∴∠ACB=90°
過C作CG⊥平面ABC，以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CG為z軸建立直角坐標系，
則A（$\sqrt{2}$，0，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），C（0，0，0），D（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
E（0，$\sqrt{2}$，3），F(xiàn)（$\sqrt{2}$，0，3），H（0，$\sqrt{2}$，3λ）
∴$\overrightarrow{FH}$=（-$\sqrt{2}，\sqrt{2}，3λ-3$），$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}，0$），$\overrightarrow{CH}$=（0，$\sqrt{2}，3λ$），
∵FH⊥平面DHC，∴$\overrightarrow{FH}•\overrightarrow{CD}$=0，且$\overrightarrow{FH}$•$\overrightarrow{CH}$=0，
∴2+3λ（3λ-3）=0，
解得λ=$\frac{1}{3}$或$λ=\frac{2}{3}$．
（2）∵λ＞$\frac{1}{2}$，∴$λ=\frac{2}{3}$，∴H（0，$\sqrt{2}$，2），
設平面DCF的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}=0}\end{array}\right.$，
∵$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），$\overrightarrow{CF}$=（$\sqrt{2}，0，3$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y=0}\\{\sqrt{2}x+3z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\frac{\sqrt{2}}{3}$），
設平面HCF的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FH}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CH}=0}\end{array}\right.$，
∵$\overrightarrow{FH}$=（-$\sqrt{2}，\sqrt{2}，-1$），$\overrightarrow{CH}$=（0，$\sqrt{2}$，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}a+\sqrt{2}b-c=0}\\{\sqrt{2}b+2c=0}\end{array}\right.$，取b=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$，1），
設平面DCF與平面CFH所成銳二面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{5\sqrt{2}}{6}}{\sqrt{\frac{20}{9}}•\sqrt{\frac{15}{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴平面DCF與平面CFH所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查線面垂直，考查二面角D-CF-H余弦值，正確建立坐標系，利用向量方法是關鍵．