分析 (1)過C作CG⊥平面ABC,以C為原點,CA為x軸,CB為y軸,CG為z軸建立直角坐標系,利用FH⊥平面DHC,建立方程,即可求λ的值;
(2)求出平面DCF的一個法向量、平面HCF的一個法向量,利用向量的夾角公式,即可求當λ>12時,平面DCF與平面CFH所成銳二面角的余弦值.
解答 解:(1)∵AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°
過C作CG⊥平面ABC,以C為原點,CA為x軸,CB為y軸,CG為z軸建立直角坐標系,
則A(√2,0,0),B(0,√2,0),C(0,0,0),D(√22,√22,0),
E(0,√2,3),F(xiàn)(√2,0,3),H(0,√2,3λ)
∴→FH=(-\sqrt{2},\sqrt{2},3λ-3),\overrightarrow{CD}=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0),\overrightarrow{CH}=(0,\sqrt{2},3λ),
∵FH⊥平面DHC,∴\overrightarrow{FH}•\overrightarrow{CD}=0,且\overrightarrow{FH}•\overrightarrow{CH}=0,
∴2+3λ(3λ-3)=0,
解得λ=\frac{1}{3}或λ=\frac{2}{3}.
(2)∵λ>\frac{1}{2},∴λ=\frac{2}{3},∴H(0,\sqrt{2},2),
設(shè)平面DCF的一個法向量為\overrightarrow{n}=(x,y,z),則\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}=0}\end{array}\right.,
∵\overrightarrow{CD}=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0),\overrightarrow{CF}=(\sqrt{2},0,3),
∴\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y=0}\\{\sqrt{2}x+3z=0}\end{array}\right.,取x=1,得\overrightarrow{n}=(1,-1,\frac{\sqrt{2}}{3}),
設(shè)平面HCF的一個法向量為\overrightarrow{m}=(a,b,c),則\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FH}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CH}=0}\end{array}\right.,
∵\overrightarrow{FH}=(-\sqrt{2},\sqrt{2},-1),\overrightarrow{CH}=(0,\sqrt{2},2),
∴\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}a+\sqrt{2}b-c=0}\\{\sqrt{2}b+2c=0}\end{array}\right.,取b=\sqrt{2},得\overrightarrow{m}=(\frac{3\sqrt{2}}{2},\sqrt{2},1),
設(shè)平面DCF與平面CFH所成銳二面角為θ,
則cosθ=\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}=\frac{\frac{5\sqrt{2}}{6}}{\sqrt{\frac{20}{9}}•\sqrt{\frac{15}{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{6}.
∴平面DCF與平面CFH所成銳二面角的余弦值為\frac{\sqrt{3}}{6}.
點評 本題考查線面垂直,考查二面角D-CF-H余弦值,正確建立坐標系,利用向量方法是關(guān)鍵.
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A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件按 |
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P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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