Processing math: 17%
15.在四棱錐C-ABEF中,底面ABEF是矩形,F(xiàn)A⊥平面ABC,D是棱AB的中點,點H在棱BE上.且AC=BC=2,AB=2,AF=3.
(1)設(shè)BH=λBE,若FH⊥平面DHC,求λ的值:
(2)在(1)的條件下,求當λ>12時,平面DCF與平面CFH所成銳二面角的余弦值.

分析 (1)過C作CG⊥平面ABC,以C為原點,CA為x軸,CB為y軸,CG為z軸建立直角坐標系,利用FH⊥平面DHC,建立方程,即可求λ的值;
(2)求出平面DCF的一個法向量、平面HCF的一個法向量,利用向量的夾角公式,即可求當λ>12時,平面DCF與平面CFH所成銳二面角的余弦值.

解答 解:(1)∵AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°
過C作CG⊥平面ABC,以C為原點,CA為x軸,CB為y軸,CG為z軸建立直角坐標系,
則A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,0),D(22,22,0),
E(0,2,3),F(xiàn)(2,0,3),H(0,2,3λ)
FH=(-\sqrt{2},\sqrt{2},3λ-3),\overrightarrow{CD}=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0),\overrightarrow{CH}=(0,\sqrt{2},3λ),
∵FH⊥平面DHC,∴\overrightarrow{FH}•\overrightarrow{CD}=0,且\overrightarrow{FH}\overrightarrow{CH}=0,
∴2+3λ(3λ-3)=0,
解得λ=\frac{1}{3}λ=\frac{2}{3}
(2)∵λ>\frac{1}{2},∴λ=\frac{2}{3},∴H(0,\sqrt{2},2),
設(shè)平面DCF的一個法向量為\overrightarrow{n}=(x,y,z),則\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}=0}\end{array}\right.,
\overrightarrow{CD}=(\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2},0),\overrightarrow{CF}=(\sqrt{2},0,3),
\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y=0}\\{\sqrt{2}x+3z=0}\end{array}\right.,取x=1,得\overrightarrow{n}=(1,-1,\frac{\sqrt{2}}{3}),
設(shè)平面HCF的一個法向量為\overrightarrow{m}=(a,b,c),則\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FH}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CH}=0}\end{array}\right.,
\overrightarrow{FH}=(-\sqrt{2},\sqrt{2},-1),\overrightarrow{CH}=(0,\sqrt{2},2),
\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}a+\sqrt{2}b-c=0}\\{\sqrt{2}b+2c=0}\end{array}\right.,取b=\sqrt{2},得\overrightarrow{m}=(\frac{3\sqrt{2}}{2},\sqrt{2},1),
設(shè)平面DCF與平面CFH所成銳二面角為θ,
則cosθ=\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}=\frac{\frac{5\sqrt{2}}{6}}{\sqrt{\frac{20}{9}}•\sqrt{\frac{15}{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{6}
∴平面DCF與平面CFH所成銳二面角的余弦值為\frac{\sqrt{3}}{6}

點評 本題考查線面垂直,考查二面角D-CF-H余弦值,正確建立坐標系,利用向量方法是關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.設(shè)平面向量\overrightarrow a\overrightarrow b,\overrightarrow c均為非零向量,則“\overrightarrow a•(\overrightarrow b-\overrightarrow c)=0”是“\overrightarrow b=\overrightarrow c”的( �。�
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件按

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

19.若等比數(shù)列{an}滿足a1-a3=-3,a2-a4=-6,則公比q=(  )
A.1B.2C.-2D.4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.已知,AB⊥平面BCD,CD⊥CB,AD與平面BCD所成的角為30°,且AB=BC.
(1)求AD與平面ABC所成角的大��;
(2)求二面角C-AD-B的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

10.如圖,PA⊥底面ABC,PA=1,AB=3,AC=4,BC=5;
(1)求二面角P-BC-A的余弦值;
(2)求點A到平面PBC的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.近年來我國電子商務(wù)行業(yè)迎來篷布發(fā)展的新機遇,2015年雙11期間,某購物平臺的銷售業(yè)績高達918億人民幣.與此同時,相關(guān)管理部門推出了針對電商的商品和服務(wù)的評價體系.現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功交易,并對其評價進行統(tǒng)計,對商品的好評率為0.6,對服務(wù)的好評率為0.75,其中對商品和服務(wù)都做出好評的交易為80次.
(1)是否可以在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下,認為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)?
(2)若將頻率視為概率,某人在該購物平臺上進行的5次購物中,設(shè)對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)為隨機變量X:
①求對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)X的分布列(概率用組合數(shù)算式表示);
②求X的數(shù)學(xué)期望和方差.
P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
{K^2}=\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)},其中n=a+b+c+d)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

7.如圖,四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,△PAB和△PAD都是邊長為1的正三角形,DC=2,E為DC的中點.
(I)求證:PA⊥BD;
(Ⅱ)求直線PE與平面PDB所成角的大�。�

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

4.已知函數(shù)f(x)=2|x-1|-a,g(x)=-|2x+m|,a,m∈R,若關(guān)于x的不等式g(x)≥-1的整數(shù)解有且僅有一個值為-2.
(1)求整數(shù)m的值;
(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象恒在函數(shù)y=\frac{1}{2}g(x)的上方,求實數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

5.已知函數(shù)f(x)=\sqrt{1-x},g(x)=sinx•f(sin2x)+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}f(cos4x),x∈[-\frac{π}{4},0]
(1)將函數(shù)g(x)化簡成Asin(ωx+φ)+B(A,B∈R,ω>0,φ∈(-π,π)的形式;
(2)求函數(shù)g(x)的值域.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案