Question

【題目】已知拋物線的對稱軸為坐標軸，頂點是坐標原點，準線方程為 ，直線 與拋物線相交于不同的 ， 兩點．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）如果直線 過拋物線的焦點，求 的值；
（3）如果 ，直線 是否過一定點，若過一定點，求出該定點；若不過一定點，試說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：已知拋物線的對稱軸為坐標軸，頂點是坐標原點，準線方程為 ，
所以 ， ．
∴拋物線的標準方程為
（2）解：設(shè) ： ，與 聯(lián)立，得 ，
設(shè) ， ，∴ ， ，
∴
（3）解：假設(shè)直線 過定點，設(shè) ： 與 聯(lián)立，得 ，
設(shè) ， ，∴ ， ．
由 ，解得 ，
∴ ： 過定點
【解析】（1）求解拋物線標準方程，首先要根據(jù)題目條件確定拋物線的種類，為開口向右的拋物線；再由準線方程可得 =- 1，即可確定拋物線的方程。
（2）要求.，設(shè) A(x1,y1)，B(x2,y2)，即求x1x2+y1y2的值，故要聯(lián)立直線AB和拋物線。已知直線AB過焦點（1,0），斜率不為0且可以不存在，故設(shè)直線方程為my=x1，聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，再利用韋達定理和換元法即可求得x1x2+y1y2的值。
（3）利用反證法，假設(shè)存在并試圖求解，若無解即為不存在；直線AB與拋物線必有兩焦點，故可設(shè)直線為my=x+n，聯(lián)立方程組得到一元二次方程，再用韋達定理得到.=4=n2+4n，求得n=-2。