Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最小值；

（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，有恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減 ．

（Ⅲ）．

【解析】

試題分析: （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則；（Ⅱ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)得，，要分、和

三種情況討論，易得當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，，由題知，化簡(jiǎn)得，解得．

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，

∴；

∵的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031606040068201278/SYS201503160604042291166178_DA/SYS201503160604042291166178_DA.028.png">，∴由 得，由 得．........2分

∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

∴． .............4分

（Ⅱ）．

①當(dāng)，即時(shí)，，∴在單調(diào)遞減； 5分

②當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增； 6分

③當(dāng)時(shí)，由得，∴或（舍去）

∴在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； 8分

綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減； 9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，，

即原不等式等價(jià)于， 11分

即，整理得

∴ 13分

又∵，∴的取值范圍為. 14分

考點(diǎn)：①利用導(dǎo)數(shù)求最值；②利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性；③利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍.