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19.如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,平面PDC⊥平面ABCD,AC=AD=PD=PC,∠DAC=90°,M在PB上.
(Ⅰ)若點(diǎn)M是PB的中點(diǎn),求證:PA⊥平面CDM;
(Ⅱ)在線段PB上確定點(diǎn)M的位置,使得二面角D-MC-B的余弦值為-63

分析 (Ⅰ)取DC的中點(diǎn)O,連結(jié)PO,OA,則PO⊥DC,AO⊥DC,取PA的中點(diǎn)N,連結(jié)ON,MN,推導(dǎo)出四邊形MNOC為平行四邊形,CM⊥PA,由此能證明PA⊥平面CDM.
(Ⅱ)以O(shè)為原點(diǎn),OA,OC,OP所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出當(dāng)點(diǎn)M是PB的中點(diǎn)時(shí),二面角D-MC-B的余弦值為-63

解答 證明:(Ⅰ)取DC的中點(diǎn)O,連結(jié)PO,OA,
則PO⊥DC,AO⊥DC,
又PO∩OA=O,∴PO⊥平面POA,∴CD⊥PA,
取PA的中點(diǎn)N,連結(jié)ON,MN,
由M為PB的中點(diǎn),得四邊形MNOC為平行四邊形,
∴OM∥ON,
又在△POA中,OP=OA,N為PA中點(diǎn),則ON⊥PA,∴CM⊥PA,
又CM?平面CDM,CD?平面CDM,CM∩CD=C,
∴PA⊥平面CDM.
解:(Ⅱ)由平面PDC⊥平面ABCD,得PO⊥平面ABCD,
以O(shè)為原點(diǎn),OA,OC,OP所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)DC=2,則D(0,-1,0),C(0,1,0),B(1,2,0),P(0,0,1),
設(shè)平面MCB的法向量n=(x,y,z),
CB=(1,1,0),CP=(0,-1,1),
{nCB=x+y=0nCP=y+z=0,取z=1,得n=(-1,1,1),
設(shè)PM=λ\overrightarrow{PB},(0<λ<1),則M(λ,2λ,1-λ),
\overrightarrow{DC}=(0,2,0),\overrightarrow{CM}=(λ,2λ-1,1-λ),
設(shè)平面DCM的法向量為\overrightarrow{m}=(a,b,c),
\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CM}=λa+(2λ-1)b+(1-λ)c=0}\end{array}\right.,取c=1,得\overrightarrow{m}=(\frac{λ-1}{λ},0,1),
∵二面角D-MC-B的余弦值為-\frac{\sqrt{6}}{3},
∴|cos<\overrightarrow{n},\overrightarrow{m}>|=\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}=\frac{|-\frac{λ-1}{λ}+1|}{\sqrt{3}•\sqrt{(\frac{λ-1}{λ})^{2}+1}}=\frac{\sqrt{6}}{3},
解得λ=\frac{1}{2}
∴當(dāng)點(diǎn)M是PB的中點(diǎn)時(shí),二面角D-MC-B的余弦值為-\frac{\sqrt{6}}{3}

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明,考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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