Question

求證：（1）n≥0，試用分析法證明，，
（2）當(dāng)a、b、c為正數(shù)時(shí)，（a+b+c）（++）≥9．
相等的非零實(shí)數(shù)．用反證法證明三個(gè)方程ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根．

Answer 1

證明：（1）要證成立，即證，
即證 ，即證，即證 （n+1）²＞n²+2n，即n²+2n+1＞n²+2n，
即證1＞0，而1＞0 顯然成立，所以原命題成立．
（2）證明：假設(shè)三個(gè)方程中都沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根，則△₁=4b²-4ac≤0，△₂=4c²-4ab≤0，
△₃=4a²-4bc≤0． 相加有 a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+c²-2ac+a²≤0，
（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≤0．①由題意a、b、c互不相等，∴①式不能成立．
∴假設(shè)不成立，即三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根．
分析：（1）要證成立，即證，即證 ，即證，即證 （n+1）²＞n²+2n，即證1＞0．
（2）假設(shè)三個(gè)方程中都沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根，則他們的判別式都小于0，相加可得（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≤0 ①，
由題意a、b、c互不相等，可得①式不能成立，矛盾．
點(diǎn)評(píng)：本題考查用分析法證明不等式，用反證法證明不等式，用反證法證明不等式時(shí)，推出矛盾，是解題的關(guān)鍵．