Question

【題目】已知圓的圓心在直線上，且與直線相切于點.

（1）求圓方程；

（2）是否存在過點的直線與圓交于兩點，且的面積是（為坐標原點），若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：

（1）求圓的方程，由于圓心在直線上，因此可設圓心坐標為，同時設圓半徑為，由圓與直線相切，從而圓心到直線的距離等于圓的半徑以及圓心到切點的距離也是半徑列出方程組解得得圓標準方程；（2）此類問題是假設直線存在，然后可分直線的斜率存在和不存在兩種情形討論，斜率存在時，設直線方程為，求出圓心到直線的距離，再由勾股定理得弦長，由面積得關于的方程，求出（如無解說明此種情況不存在）；當斜率不存在時直線方程為，直接驗證即可．

試題解析：

（1）設圓心坐標為，則圓的方程為： ，又與相切，則有，解得： ， ，所以圓的方程為： ；

（2）由題意得：當存在時，設直線，設圓心到直線的距離為，

則有，進而可得：

化簡得： ，無解；

當不存在時， ，則圓心到直線的距離，那么， ，滿足題意，所以直線的方程為： .