已知函數(shù)f(x)=xm-
2x
,且f(2)=1.
(1)求m的值;
(2)判定f(x)的奇偶性,并說(shuō)明理由;
(3)判斷f(x)在(-∞,0)上的單調(diào)性并給予證明.
分析:(1)由f(2)=1列方程解出即可;
(2)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可作出判斷;
(3)設(shè)x1<x2<0,通過(guò)作差可判斷f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系,依據(jù)單調(diào)性的定義即可判斷;
解答:解:(1)因?yàn)閒(2)=1,即2m-
2
2
=1
,解得m=1.
(2)函數(shù)f(x)為奇函數(shù).
函數(shù)f(x)=x-
2
x
的定義域?yàn)閧x|x≠0},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
又因?yàn)?span id="msg4tha" class="MathJye">f(-x)=-x-
2
-x
=-(x-
2
x
)=-f(x),
所以f(x)是奇函數(shù).
(3)設(shè)x1<x2<0,
f(x1)-f(x2)=x1-
2
x1
-(x2-
2
x2
)
=x1-x2-(
2
x1
-
2
x2
)=(x1-x2)(1+
2
x1x2
)

因?yàn)閤1<x2<0,所以x1-x2<0,1+
2
x1x2
>0
,
所以f(x1)<f(x2),
因此f(x)在(-∞,0)上為單調(diào)增函數(shù).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的表示方法及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性,屬基礎(chǔ)題,定義是解決該類問(wèn)題的基本方法.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù),且f(3)<f(5).
(1)求m的值,并確定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在實(shí)數(shù)a,使g(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2,若存在,請(qǐng)求出a的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:浙江省東陽(yáng)中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值,若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對(duì)任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,4]為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,則k的值是_________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2009-2010學(xué)年河南省許昌市長(zhǎng)葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

已知函數(shù)f(x)、g(x),下列說(shuō)法正確的是( )
A.f(x)是奇函數(shù),g(x)是奇函數(shù),則f(x)+g(x)是奇函數(shù)
B.f(x)是偶函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)是偶函數(shù)
C.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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