Question

5．直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（0，-3），B（2，1），在拋物線(xiàn)y²=-2x上求一點(diǎn)P，使它到直線(xiàn)AB的距離最短，并求出此最短距離d．

Answer 1

分析 用兩點(diǎn)式求得直線(xiàn)AB的方程為2x-y-4=0，設(shè)拋物線(xiàn)y²=-2x上的點(diǎn)P（$-\frac{{t}^{2}}{2}$，t），由點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離能求出結(jié)果．

解答 解：用兩點(diǎn)式求得直線(xiàn)AB的方程為$\frac{x-0}{y+3}=\frac{0-2}{-3-1}$，即2x-y-3=0，
設(shè)拋物線(xiàn)y²=-2x上的點(diǎn)P（$-\frac{{t}^{2}}{2}$，t），則點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離為：
d=$\frac{|-{t}^{2}-t-3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|{t}^{2}+t+3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{（t+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{11}{4}}{\sqrt{5}}$，
故當(dāng)t=$-\frac{1}{2}$時(shí)，d取得最小值為$\frac{11\sqrt{5}}{20}$，此時(shí)P（$-\frac{1}{8}$，$-\frac{1}{2}$），

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用兩點(diǎn)式求直線(xiàn)的方程，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．