Question

5．直線過點A（0，-3），B（2，1），在拋物線y²=-2x上求一點P，使它到直線AB的距離最短，并求出此最短距離d．

Answer 1

分析 用兩點式求得直線AB的方程為2x-y-4=0，設(shè)拋物線y²=-2x上的點P（$-\frac{{t}^{2}}{2}$，t），由點P到直線AB的距離能求出結(jié)果．

解答 解：用兩點式求得直線AB的方程為$\frac{x-0}{y+3}=\frac{0-2}{-3-1}$，即2x-y-3=0，
設(shè)拋物線y²=-2x上的點P（$-\frac{{t}^{2}}{2}$，t），則點P到直線AB的距離為：
d=$\frac{|-{t}^{2}-t-3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|{t}^{2}+t+3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{（t+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{11}{4}}{\sqrt{5}}$，
故當(dāng)t=$-\frac{1}{2}$時，d取得最小值為$\frac{11\sqrt{5}}{20}$，此時P（$-\frac{1}{8}$，$-\frac{1}{2}$），

點評 本題主要考查用兩點式求直線的方程，點到直線的距離公式、二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．