Question

5．已知由甲、乙兩位男生和丙、丁兩位女生組成的四人沖關(guān)小組，參加由安徽衛(wèi)視推出的大型戶外競技類活動《男生女生向前沖》．活動共有四關(guān)，若四關(guān)都闖過，則闖關(guān)成功，否則落水失�。�設(shè)男生闖過一至四關(guān)的概率依次是$\frac{5}{6}$，$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，女生闖過一至四關(guān)的概率依次是$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求男生甲闖關(guān)失敗的概率；
（Ⅱ）設(shè)X表示四人沖關(guān)小組闖關(guān)成功的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用對立事件計算“男生甲闖關(guān)失敗”的概率；
（Ⅱ）計算“一位女生闖關(guān)成功”的概率，得出變量X的所有可能取值，計算對應(yīng)的概率值，寫出X的分布列，計算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（Ⅰ）記“男生甲闖關(guān)失敗”為事件A，
則“男生甲闖關(guān)成功”為事件$\overline{A}$，
∴P（A）=1-P（$\overline{A}$）
=1-$\frac{5}{6}$×$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{2}{3}$
=1-$\frac{1}{3}$
=$\frac{2}{3}$；
（Ⅱ）記“一位女生闖關(guān)成功”為事件B，
則P（B）=$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{5}$，
隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，4；
且P（X=0）=${（\frac{2}{3}）}^{2}$×${（\frac{4}{5}）}^{2}$=$\frac{64}{225}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{3}$•${（\frac{4}{5}）}^{2}$+${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{5}$•$\frac{4}{5}$•${（\frac{2}{3}）}^{2}$=$\frac{96}{225}$，
P（X=3）=${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{3}$•${（\frac{1}{5}）}^{2}$+${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{5}$•$\frac{4}{5}$•${（\frac{1}{3}）}^{2}$=$\frac{12}{225}$，
P（X=4）=${（\frac{1}{3}）}^{2}$×${（\frac{1}{5}）}^{2}$=$\frac{1}{225}$，
P（X=2）=1-$\frac{64+96+12+1}{225}$=$\frac{52}{225}$；
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{64}{225}$	$\frac{96}{225}$	$\frac{52}{225}$	$\frac{12}{225}$	$\frac{1}{225}$

∴數(shù)學(xué)期望為E（X）=0×$\frac{64}{225}$+1×$\frac{96}{225}$+2×$\frac{52}{225}$+3×$\frac{12}{225}$+4×$\frac{1}{225}$=$\frac{16}{15}$．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算問題，是基礎(chǔ)題．