Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+m|．
（Ⅰ） 解關(guān)于m的不等式f（1）+f（-2）≥5；
（Ⅱ）當(dāng)x≠0時，證明：$f（{\frac{1}{x}}）+f（{-x}）≥2$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）問題等價于|m+1|+|m-2|≥5，通過討論m的范圍，求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）根據(jù)絕對值的性質(zhì)證明即可．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（1）+f（-2）≥5等價于|m+1|+|m-2|≥5，
可化為$\left\{{\begin{array}{l}{m＜-1}\\{-（{m+1}）-（{m-2}）≥5}\end{array}}\right.$，解得m≤-2；
或$\left\{{\begin{array}{l}{-1≤m≤2}\\{（{m+1}）-（{m-2}）≥5}\end{array}}\right.$，無解； 
或$\left\{{\begin{array}{l}{m＞2}\\{（{m+1}）+（{m-2}）≥5}\end{array}}\right.$，解得m≥3；
綜上不等式解集為（-∞，-2]∪[3，+∞）…（5分）
（Ⅱ）證明：當(dāng)x≠0時，$|{\frac{1}{x}}|＞0$，|x|＞0，
$f（{\frac{1}{x}}）+f（{-x}）=|{\frac{1}{x}+m}|+|{-x+m}|≥|{（{\frac{1}{x}+m}）-（{-x+m}）}|≥|{\frac{1}{x}+x}|=|{\frac{1}{x}}|+|x|≥2$，
…（10分）

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查絕對值的性質(zhì)，是一道中檔題．