Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一條漸近線過點(diǎn)(2，

3

)，以右焦點(diǎn)F₂為圓心作圓與兩條漸近線相切，圓面積恰為12π．
（1）求雙曲線的方程；
（2）任作一直線l與雙曲線右支交于兩點(diǎn)A，B，與漸近線交于兩點(diǎn)C，D，A在B，C兩點(diǎn)之間，求證：|AC|=|BD|．

Answer 1

分析：（1）先確定漸近線方程，再利用以右焦點(diǎn)F₂為圓心作圓與兩條漸近線相切，即可求得雙曲線的方程；
（2）設(shè)直線為x=my+n代入雙曲線方程，漸近線方程，用韋達(dá)定理，可得AB、CD 的中點(diǎn)重合，即可得到結(jié)論．

解答：（1）解：∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一條漸近線過點(diǎn)(2，

3

)，∴

b

a

=

3

2

，
∴一條漸近線方程方程

3

x-2y=0
∵圓面積為12π，∴圓的半徑為2

3

∵以右焦點(diǎn)F₂為圓心作圓與兩條漸近線相切
∴

| 3 c|

7

=2

3

，∴c=2

7

∴a²=16，b²=12
∴雙曲線的方程為

x2

16

-

y2

12

=1；
（2）證明：設(shè)直線為x=my+n代入雙曲線方程可得（3m²-4）y²+6mny+3n²-48=0
又雙曲線的漸近線方程為

x2

16

-

y2

12

=0，直線方程代入可得（3m²-4）y²+6mny+3n²=0
∵直線l與雙曲線右支交于兩點(diǎn)A，B，與漸近線交于兩點(diǎn)C，D，A在B，C兩點(diǎn)之間，
∴AB、CD 的中點(diǎn)重合
∴|AC|=|BD|．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查雙曲線的方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．