Question

設函數(shù)f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a．
（1）當m=2時，若方程f（x）-h（x）=0在[1，3]上恰好有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)m，使函數(shù)f（x）和函數(shù)h（x）在公共定義域上具有相同的單調區(qū)間？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）f（x）-h（x）=0，等價于x²-2lnx=x²-x+a，即a=x-2lnx
令g（x）=x-2lnx，則
∴x∈[1，2]時，g′（x）≤0，函數(shù)g（x）=x-2lnx在[1，2]內單調遞減；x∈[2，3]時，g′（x）≥0，函數(shù)g（x）=x-2lnx在[2，3]內單調遞增．
又因為g（1）=1，g（2）=2-2ln2，g（3）=3-2ln3
故2-2ln2＜a≤3-2ln3
（2）∵h（x）=x²-x+a在單調遞減；單調遞增
∴f（x）=x²-mlnx也應在單調遞減；單調遞增
∵，
∴當m≤0時，f（x）=x²-mlnx在（0，+∞）單調遞增，不滿足條件；當m＞0且，即，函數(shù)f（x）和函數(shù)h（x）在公共定義域上具有相同的單調區(qū)間．
分析：（1）構造函數(shù)g（x）=x-2lnx，確定函數(shù)在[1，3]上的單調性，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求得函數(shù)f（x）和函數(shù)h（x）在單調遞減；單調遞增，求導函數(shù)，即可得到結論．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．