Question

已知正項數(shù)列{a_n}的前項和為S_n，且滿足．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)；
（Ⅲ）設(shè)，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由2=a_n+1，知，故2（a_n+1+a_n）=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n），所以（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，由此能夠證明數(shù)列{a_n}是首項為a₁=1，公差d=2的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，由=，知T_n=b₁+b₂+…+b_n=，再由錯位相減法能夠求出．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：=，故==，由此能夠證明．
解答：（Ⅰ）證明：∵2=a_n+1，
∴，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=-
=，
即：2（a_n+1+a_n）=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n），
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n+1+a_n＞0，∴a_n+1-a_n-2=0，
∴a_n+1-a_n=2，
當n=1時，S₁=，即a₁=，
∴，解得a₁=1．
∴數(shù)列{a_n}是首項為a₁=1，公差d=2的等差數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
∵=，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=，①
=，②
①-②得：
=
=，
∴．
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）得：=，
∴
==，
∴c₁+c₂+c₃+…+c_n=
=，
故．
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．