Question

設f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2.若f(θ)＜0在θ∈[0，

π

2

]上恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：構造函數(shù)f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，利用同角三角形函數(shù)關系，可將函數(shù)的解析式化為f（θ）=-（sinθ-m）²+m²-2m-1的形式，分-1≤m≤1，m≥1，m≤-1三種情況，討論函數(shù)的最大值，最后匯總討論結果，即可得到答案．

解答：解：設f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，
要使f（θ）＜0對θ∈[0，

π

2

]總成立，當且僅當函數(shù)y=f（θ）的最大值小于零．
f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2=1-sin²θ+2msinθ-2m-2=-（sinθ-m）²+m²-2m-1，
令t=sinθ∈[0，1]，g（t）=-（t-m）²+m²-2m-1
∴當0≤m≤1時，函數(shù)的最大值為m²-2m-1＜0，解得0≤m≤1；
當m＞1時，函數(shù)的最大值為g（1）＜0，得m＞1．
∴m≥1時均成立；
當m＜0時，函數(shù)的最大值為g（0）=-4m-2＜0，m＞-

1

2

．
綜上得m的取值范圍是m∈（-

1

2

，+∞）．

點評：本題考查的知識點是三角函數(shù)的最值，其中構造函數(shù)f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，將問題轉化為函數(shù)恒成立問題是解答本題的關鍵．