Question

已知函數(shù)g（x）=x²+ln（x+a），其中a為常數(shù)．
（1）討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性；
（2）若g（x）存在兩個極值點(diǎn)x₁，x₂，求證：無論實(shí)數(shù)a取什么值都有

g(x1)+g(x2)

2

＞g(

x1+x2

2

)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用求導(dǎo)法則求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)，把導(dǎo)函數(shù)解析式通分化簡，分4a²-8≤0，或4a²-8＞0兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a＞

2

時(shí)，函數(shù)g（x）在（

-a+ a2-2

2

，+∞）或（-a，

-a- a2-2

2

）上單調(diào)遞增，在（

-a- a2-2

2

，

-a+ a2-2

2

）上單調(diào)遞減；

g(x1)+g(x2)

2

=

x12+ln(x1+a)+x22+ln(x2+a)

2

=

1

2

a²-

1

2

-

1

2

ln2，g（

x1+x2

2

）=g（-

a

2

）=

1

4

a2+ln

a

2

；令f（a）=

1

4

a2-lna+

1

2

ln2-

1

2

，從而得證．

解答： 解：（1）∵g（x）=x²+ln（x+a），
∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?a，+∞）
∴g′（x）=2x+

1

x+a

，
令2x+

1

x+a

＞0，
2x²+2ax+1＞0，
當(dāng)4a²-8≤0時(shí)，即-

2

≤a≤

2

時(shí)，g′（x）≥0，即函數(shù)g（x）在（-a，+∞）單調(diào)遞增，
當(dāng)4a²-8＞0時(shí)，即a＞

2

，或a＜-

2

時(shí)，
令g′（x）=0，解得x=

-a+ a2-2

2

，或x=

-a- a2-2

2

，
①若a＞

2

，
當(dāng)g′（x）＞0時(shí)，即x＞

-a+ a2-2

2

，或-a＜x＜

-a- a2-2

2

，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)g′（x）＜0時(shí)，即

-a- a2-2

2

＜x＜

-a+ a2-2

2

，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
②若a＜-

2

，g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）在（-a，+∞）單調(diào)遞增，
綜上所述：當(dāng)a≤

2

時(shí)，即函數(shù)g（x）在（-a，+∞）單調(diào)遞增，
當(dāng)a＞

2

時(shí)，函數(shù)g（x）在（

-a+ a2-2

2

，+∞）或（-a，

-a- a2-2

2

）上單調(diào)遞增，
在（

-a- a2-2

2

，

-a+ a2-2

2

）上單調(diào)遞減，
（2）由（1）可知，當(dāng)a＞

2

時(shí)，函數(shù)g（x）在（

-a+ a2-2

2

，+∞）或（-a，

-a- a2-2

2

）上單調(diào)遞增，
在（

-a- a2-2

2

，

-a+ a2-2

2

）上單調(diào)遞減，
x₁+x₂=-a；x₁•x₂=

1

2

，

g(x1)+g(x2)

2

=

x12+ln(x1+a)+x22+ln(x2+a)

2

=

1

2

a²-

1

2

-

1

2

ln2，
g（

x1+x2

2

）=g（-

a

2

）=

1

4

a2+ln

a

2

；
故

g(x1)+g(x2)

2

-g（

x1+x2

2

）
=（

1

2

a²-

1

2

-

1

2

ln2）-（

1

4

a2+ln

a

2

）
=

1

4

a2-lna+

1

2

ln2-

1

2

；
令f（a）=

1

4

a2-lna+

1

2

ln2-

1

2

，
則f′（a）=

1

2

a-

1

a

=

a2-2

2a

，
∵a＞

2

，∴

a2-2

2a

＞0；
∴f（a）=

1

4

a2-lna+

1

2

ln2-

1

2

在（

2

，+∞）上增函數(shù)，
且f（

2

）=0，
故

1

4

a2-lna+

1

2

ln2-

1

2

＞0，
故無論實(shí)數(shù)a取什么值都有

g(x1)+g(x2)

2

＞g(

x1+x2

2

)．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了恒成立問題，屬于難題．