如圖1,四棱錐中,
底面
,面
是直角梯形,
為側(cè)棱
上一點(diǎn).該四棱錐的俯視圖和側(cè)(左)視圖如圖2所示.
(1)證明:平面
;
(2)線段上是否存在點(diǎn)
,使
與
所成角的余弦值為
?若存在,找到所有符合要求的點(diǎn)
,并求
的長;若不存在,說明理由.
(1),證得
.又因?yàn)?
平面
推出
,
又,所以
平面
.
(2)點(diǎn)位于
點(diǎn)處,此時(shí)
;或
中點(diǎn)處,此時(shí)
.
【解析】
試題分析:(1)【方法一】證明:由俯視圖可得,,所以
. 2分
又因?yàn)?平面
,所以
,
4分
又,所以
平面
.
6分
(1)【方法二】證明:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013072312322985244122/SYS201307231233045777913275_DA.files/image003.png">平面,
,建立如圖所示
的空間直角坐標(biāo)系. 在△
中,易得
,所以
,
因?yàn)?, 所以
,
.由俯視圖和左視圖可得:
.
所以 ,
.
因?yàn)?,所以
.
3分
又因?yàn)?平面
,所以
,又
所以 平面
.
6分
(2)解:線段上存在點(diǎn)
,使
與
所成角的余弦值為
.
證明如下:設(shè) ,其中
.
7分
所以 ,
.
要使與
所成角的余弦值為
,則有
,
9分
所以 ,解得
或
,均適合
.
11分
故點(diǎn)位于
點(diǎn)處,此時(shí)
;或
中點(diǎn)處,此時(shí)
,
12分
考點(diǎn):三視圖,立體幾何中的垂直關(guān)系、距離的計(jì)算。
點(diǎn)評(píng):典型題,立體幾何題,是高考必考內(nèi)容,往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問題中,有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法,要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟,利用空間向量,省去繁瑣的證明,也是解決立體幾何問題的一個(gè)基本思路。注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想,將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題。本題將三視圖與證明、計(jì)算問題綜合考查,凸顯三視圖的基礎(chǔ)地位,必須正確還原幾何體。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年北京市西城區(qū)高三二模理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖1,四棱錐中,
底面
,面
是直角梯形,
為側(cè)棱
上一點(diǎn).該四棱錐的俯視圖和側(cè)(左)視圖如圖2所示.
(Ⅰ)證明:平面
;
(Ⅱ)證明:∥平面
;
(Ⅲ)線段上是否存在點(diǎn)
,使
與
所成角的余弦值為
?若存在,找到所有符合要求的點(diǎn)
,并求
的長;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年湖南省高三上學(xué)期第三次月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,底面
是直角梯形,
∥
,
,
⊥平面SAD,點(diǎn)
是
的中點(diǎn),且
,
.
(1)求四棱錐的體積;
(2)求證:∥平面
;
(3)求直線和平面
所成的角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:河北省保定市高二年級(jí)第二學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(文科) 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,底面
為菱形,
,
,
,
為
的中點(diǎn),
為
的中點(diǎn)
(1)證明:直線;
(2)求異面直線與
所成角的大小;
(3)求點(diǎn)到平面
的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年江蘇省高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,底面
是邊長為1的菱形,
,
底面
,
,
為
的中點(diǎn).
(Ⅰ)、求異面直線AB與MD所成角的大��;
(Ⅱ)、求平面與平面
所成的二面角的余弦值.
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