Question

2．設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），f′（x）在區(qū)間（a，b）上的導(dǎo)函數(shù)為f″（x），若在區(qū)間（a，b）上f″（x）＞0恒成立，則稱(chēng)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凹函數(shù)”；已知f（x）=-$\frac{1}{12}$x${\;}^{4}+\frac{m}{6}{x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}$在（1，3）上為“凹函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． [2，+∞）
• B． [$\frac{31}{9}$，5]
• C． （2，+∞）
• D． （$\frac{31}{9}$，+∞）

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x），f″（x）．由于函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，3）上為“凹函數(shù)”，可得：在區(qū)間（1，3）上f″（x）＞0恒成立，解得即可．

解答 解：∵f（x）=-$\frac{1}{12}$x${\;}^{4}+\frac{m}{6}{x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}$，
∴f′（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{m}{2}$x²+3x，
∴f″（x）=-x²+mx+3，
由題意得：-x²+mx+3＞0在（1，3）恒成立，
即m＞x-$\frac{3}{x}$在（1，3）恒成立，
令g（x）=x-$\frac{3}{x}$，g′（x）=1+$\frac{3}{{x}^{2}}$＞0，
∴g（x）在（1，3）遞增，g（x）_max＜g（3）=2，
故m≥2，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“凹函數(shù)”的定義及其性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．