Question

某企業(yè)為適應(yīng)市場(chǎng)需求，準(zhǔn)備投入資金20萬(wàn)生產(chǎn)W和R型兩種產(chǎn)品．經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，生產(chǎn)W型產(chǎn)品所獲利潤(rùn)y_w（萬(wàn)元）與投入資金x_w（萬(wàn)元）成正比例關(guān)系，又估計(jì)當(dāng)投入資金6萬(wàn)元時(shí)，可獲利潤(rùn)1.5萬(wàn)元．生產(chǎn)R型產(chǎn)品所獲利潤(rùn)y_R（萬(wàn)元）與投入資金x_R（萬(wàn)元）的關(guān)系滿足y_R=

5

4

xR

，為獲得最大利潤(rùn)，問生產(chǎn)W，R型兩種產(chǎn)品各應(yīng)投入資金多少萬(wàn)元？獲得的最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：若設(shè)生產(chǎn)R型產(chǎn)品投入資金為x萬(wàn)元，則生產(chǎn)W型產(chǎn)品投入資金為（20-x）萬(wàn)元，所獲總利潤(rùn)y=

1.5

6

（20-x）+

5

4

x

，其中x∈[0，20]，通過換元，令

x

=t，則y=-

1

4

t²+

5

4

t+5，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)容易求得y的最大值以及對(duì)應(yīng)的x的值．

解答： 解：設(shè)生產(chǎn)R型產(chǎn)品投入資金為x萬(wàn)元，則生產(chǎn)W型產(chǎn)品的投入資金為（20-x）萬(wàn)元，所獲總利潤(rùn)為y萬(wàn)元．
則由題意，得：y=

1.5

6

（20-x）+

5

4

x

，其中x∈[0，20]，
令

x

=t，則y=-

1

4

t²+

5

4

t+5=-

1

4

（t-

5

2

）²+

105

16

所以t=

5

2

，即x=

25

4

時(shí)，y取最大值

105

16

（萬(wàn)元）
此時(shí)，20-

25

4

=

55

4

（萬(wàn)元）
所以，生產(chǎn)W型產(chǎn)品投入資金

55

4

萬(wàn)元，R型產(chǎn)品投入

25

4

萬(wàn)元時(shí)，獲得最大總利潤(rùn)，是

105

16

萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題通過換元法，考查了二次函數(shù)模型的應(yīng)用，并且利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最值問題，是中檔題．