Question

10．對(duì)任意x∈R，若|x-3|+|x+2|＞a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍a＜5．

Answer 1

分析 首先分析題目已知不等式|x+2|+|x-3|＞a恒成立，求k的取值范圍，即需要a小于|x+2|+|x-3|的最小值即可．對(duì)于求|x+2|+|x-3|的最小值，可以分析它幾何意義：在數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)-2的距離加上點(diǎn)x到點(diǎn)3的距離．分析得當(dāng)x在-2和3之間的時(shí)候，取最小值，即可得到答案．

解答 解：已知不等式|x+2|+|x-3|＞a恒成立，即需要a小于|x+2|+|x-3|的最小值即可．
故設(shè)函數(shù)y=|x+2|+|x-3|，設(shè)-2、3、x在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A、B、P．
則函數(shù)y=|x+2|+|x-3|的含義是P到A的距離與P到B的距離的和．
可以分析到當(dāng)P在A和B的中間的時(shí)候，距離和為線段AB的長(zhǎng)度，此時(shí)最�。�
即：y=|x+2|+|x-3|=|PA|+|PB|≥|AB|=5．即|x+2|+|x-3|的最小值為5．
即：a＜5．
故答案為：a＜5．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查不等式恒成立的問(wèn)題，其中涉及到絕對(duì)值不等式求最值的問(wèn)題，對(duì)于y=|x-a|+|x-b|類型的函數(shù)可以用分析幾何意義的方法求最值．