Question

已知（a∈R）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱
（1）求a的值，并求出函數(shù)F（x）=f（x）+2^x--1的零點(diǎn)；
（2）若函數(shù)在[0，1]內(nèi)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍
（3）設(shè)，若不等式f^-1（x）≤g（x）在上恒成立，求滿足條件的最小整數(shù)k的值．

Answer 1

解：（1）由題意知f（x）是R上的奇函數(shù)，
所以f（0）=0得a=1
∴
∴F（x）=+=
由（2^x）²+2^x-6=0，可得2^x=2，
所以，x=1，即F（x）的零點(diǎn)為x=1
（2）
有題設(shè)知h（x）=0在[0，1]內(nèi)有解，即方程（2^x）²+2^x+1-1-b=0在[0，1]內(nèi)有解
b=（2^x）²+2^x+1-1=（2^x+1）²-2在[0，1]內(nèi)遞增，2≤b≤7
所以當(dāng)2≤b≤7時(shí)函數(shù)在[0，1]內(nèi)存在零點(diǎn)
（3）由f^-1（x）≤g（x）得
，顯然時(shí)k+x＞0，即
設(shè)
于是
所以
滿足條件的最小整數(shù)k的值是k=8．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得f（x）是定義在R的奇函數(shù)，圖象必過(guò)原點(diǎn)，即f（0）=0，求出a的值，求出函數(shù)F（x）的解析式，解指數(shù)方程求求出函數(shù)的零點(diǎn)；
（2）函數(shù)在[0，1]內(nèi)存在零點(diǎn)，方程（2^x）²+2^x+1-1-b=0在[0，1]內(nèi)有解，分析函數(shù)b=（2^x）²+2^x+1-1在[0，1]內(nèi)的單調(diào)性，及端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)，進(jìn)而根據(jù)零點(diǎn)存在定理得到結(jié)論．
（3）由不等式f^-1（x）≤g（x）在上恒成立，利用基本不等式可求出滿足條件的k的范圍，進(jìn)而求出最小整數(shù)k的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，函數(shù)恒成立問(wèn)題，基本不等式，函數(shù)的最值，是函數(shù)圖象和性質(zhì)及函數(shù)零點(diǎn)，函數(shù)恒成立問(wèn)題的一個(gè)比較復(fù)雜的綜合應(yīng)用，難度較大．