Question

19．（1）在y=2x²上有一點P，它到A（1，3）的距離與它到焦點的距離之和最小，求點P的坐標
（2）一拋物線拱橋跨度為52m，拱頂離水面6.5m，一竹排上一寬4m，高6m的大木箱，問能否安全．

Answer 1

分析 （1）直線l為拋物線y=2x²的準線，F(xiàn)為其焦點，PN⊥l，AN₁⊥l，由拋物線的定義知，|PF|=|PN|，可得|AP|+|PF|=|AP|+|PN|≥|AN₁|，當且僅當A、P、N三點共線時取等號．
（2）建立如圖所示的坐標系，設拋物線方程x²=-2py，拋物線過點（26，-6.5），代入拋物線方程求出參數(shù)p 即得拋物線方程；把y=-0.5代入拋物線的方程求得|x|值，由此值與5比較，可知竹排能安全通過此橋．

解答 解：（1）如圖所示，直線l為拋物線y=2x²的準線，F(xiàn)為其焦點，PN⊥l，AN₁⊥l，
由拋物線的定義知，|PF|=|PN|，
∴|AP|+|PF|=|AP|+|PN|≥|AN₁|，當且僅當A、P、N三點共線時取等號．∴P點的橫坐標與A點的橫坐標相同即為1，
∴P（1，2）；
（2）建立坐標系，設拋物線解析式為x²=-2py（p＞0）
把（26，-6.5）代入，
解得拋物線：x²=-104y
當y=6-6.5=-0.5時，x=±2$\sqrt{13}$，則有4$\sqrt{13}$＞4，所以木箱能安全通過．

點評 本題考查了拋物線的定義、標準方程及其性質、最小值問題，考查用待定系數(shù)法求拋物線的標準方程的方法，以及利用拋物線的方程解決實際問題．屬于中檔題．