Question

(2013·上海高考)如圖,已知雙曲線C1：-y2=1,曲線C2：|y|=|x|+1.P是平面內(nèi)一點(diǎn).若存在過點(diǎn)P的直線與C1,C2都有共同點(diǎn),則稱P為“C1-C2型點(diǎn)”.

(1)在正確證明C1的左焦點(diǎn)是“C1-C2型點(diǎn)”時(shí),要使用一條過該焦點(diǎn)的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗(yàn)證).

(2)設(shè)直線y=kx與C2有公共點(diǎn),求證|k|>1,進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1-C2型點(diǎn)”.

(3)求證：圓x2+y2=內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1-C2型點(diǎn)”.

 

Answer 1

（1）x=-或y=k(x+),其中|k|≥.

（2）見解析 （3）見解析

【解析】(1)C1的左焦點(diǎn)為(-,0),寫出的直線方程可以是以下形式：

x=-或y=k(x+),其中|k|≥.

(2)因?yàn)橹本€y=kx與C2有公共點(diǎn),

所以方程組有實(shí)數(shù)解,

因此|kx|=|x|+1,得|k|=>1.

若原點(diǎn)是“C1-C2型點(diǎn)”,則存在過原點(diǎn)的直線與C1,C2都有公共點(diǎn).

考慮過原點(diǎn)與C2有公共點(diǎn)的直線x=0或y=kx(|k|>1).顯然直線x=0與C1無公共點(diǎn).

如果直線為y=kx(|k|>1),

則由方程組得x2=<0,矛盾,

所以直線y=kx(|k|>1)與C1也無公共點(diǎn).

因此原點(diǎn)不是“C1-C2型點(diǎn)”.

(3)記圓O：x2+y2=,取圓O內(nèi)的一點(diǎn)Q,

設(shè)有經(jīng)過Q的直線l與C1,C2都有公共點(diǎn),

顯然l不垂直于x軸,故可設(shè)l：y=kx+b.

若|k|≤1,由于圓O夾在兩組平行線y=x±1與y=-x±1之間,

因此圓O也夾在直線y=kx±1與y=-kx±1之間,從而過Q且以k為斜率的直線l與C2無公共點(diǎn),矛盾,所以|k|>1.

因?yàn)閘與C1有公共點(diǎn),所以方程組有實(shí)數(shù)解,得(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0.

因?yàn)閨k|>1,所以1-2k2≠0,

因此Δ=(4kb)2-4(1-2k2)(-2b2-2)=8(b2+1-2k2)≥0,即b2≥2k2-1.

因?yàn)閳AO的圓心(0,0)到直線l的距離d=,

所以=d2<,從而>b2≥2k2-1,

得k2<1,與|k|>1矛盾.

因此,圓x2+y2=內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1-C2型點(diǎn)”.