Question

已知各項均不為0的數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足

S1+2

a1

+

S2+2

a2

+…+

Sn+2

an

=2n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1-2b_n=na_n+1（n∈N^*），求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）利用a₁=S₁=6，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用錯位相減法求和，即可求數列{b_n}的通項公式．

解答： 解：（Ⅰ）a₁=S₁=6，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+3 n+2-[（n-1）²+3（n-1）+2]=2n+2，
所以{a_n}的通項公式為a_n=

6，n=1 2n+2，n≥2

…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當n≥2時，2b_n=b_n-1+2n+2，則2ⁿb_n=2^n-1b_n-1+（n+1）2ⁿ，
于是2ⁿb_n-2^n-1b_n-1=（n+1）2ⁿ．…（6分）
當n≥2時，2ⁿb_n=2b₁+（2²b₂-2b₁）+（2³b₃-2²b₂）+…+（2ⁿb_n-2^n-1b_n-1），
即2ⁿb_n=2b₁+3•2²+4•2³+…+（n+1）2ⁿ，①
則2ⁿ⁺¹b_n=4b₁+3•2³+4•2⁴+…+（n+1）2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-2ⁿb_n=12-2b₁+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n+1）2ⁿ⁺¹
=12-2b₁+2ⁿ⁺¹-8-（n+1）2ⁿ⁺¹=4-2b₁-n•2ⁿ⁺¹，
∴b_n=2n+

b1-2

2n-1

，…（10分）
當b₁=2時，b_n=2n對所有的n∈N^*都成立．
故當b₁=2時，由題設確定的數列{b_n}為等差數列．…（12分）

點評：本題考查數列的通項與求和，考查學生的計算能力，屬于中檔題．