Question

14．已知函數(shù)f（x）=ax²-x+3lnx，x=1是函數(shù)f（x）的一個極值點．
（1）求a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若僅存在一個整數(shù)x₀，使得f（x₀）-kx₀-k＞0成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到f′（1）=2a-1+3=0，求出a的值，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為若僅存在一個整數(shù)x₀，使得f（x₀）＞k（x₀+1）＞0成立，令g（x）=k（x+1），則直線g（x）恒過（-1，0），得到$\left\{\begin{array}{l}{f（1）＞g（1）}\\{f（2）＜g（2）}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：（1）f（x）=ax²-x+3lnx，x＞0，
f′（x）=2ax-1+$\frac{3}{x}$，
若x=1是函數(shù)f（x）的一個極值點，
則f′（1）=2a-1+3=0，解得：a=-1，
∴f（x）=3lnx-x²-x，
f′（x）=$\frac{3}{x}$-2x-1=$\frac{-{2x}^{2}-x+3}{x}$=-$\frac{（2x+3）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；
（2）若僅存在一個整數(shù)x₀，使得f（x₀）-kx₀-k＞0成立，
即若僅存在一個整數(shù)x₀，使得f（x₀）＞k（x₀+1）＞0成立，
令g（x）=k（x+1），則直線g（x）恒過（-1，0），
由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{f（1）＞g（1）}\\{f（2）＜g（2）}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{-2＞k（1+1）}\\{3ln2-4-2＜k（2+1）}\end{array}\right.$，
解得：-2+ln2＜k＜-1．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．