Question

已知函數(shù)f（x）在R上為奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x²+4x．
（1）求f（x）的解析式，并寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間（不用證明）；
（2）若f（a²-2）+f（a）＜0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先設(shè) x＜0，則-x＞0這樣可以就可以利用x≥0時的解析式，再根據(jù)奇偶性就可求出f（x）的解析式，再寫出單調(diào)區(qū)間．
（2）要把不等式進行等價轉(zhuǎn)化，先移項，再根據(jù)奇函數(shù)轉(zhuǎn)化，再根據(jù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號，然后解關(guān)于a的不等式就可求出范圍．

解答：解：（1）設(shè) x＜0，則-x＞0
∴f（-x）=（-x）²+4（-x）=x²-4x
又∵f（x）在R上為奇函數(shù)
∴f（x）=-f（-x）=-（x²-4x）=-x²+4x
∴f（x）=

-x2+4x，x＜0 x2+4x，x≥0

  單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，+∞）
（2）原不等式等價于：f（a²-2）＜-f（a）
∵f（x）在R上為奇函數(shù)
∴上式等價于：f（a²-2）＜f（-a）   ①
又∵f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增
①等價于：a²-2＜-a，即a²+a-2＜0，解得：-2＜a＜1
故答案為：（-2，1）

點評：本題第1問主要考查利用函數(shù)奇偶性求對稱區(qū)間上的函數(shù)解析式，第2問主要用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性對原不等式進行等價轉(zhuǎn)化．