C
分析:①函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),求出定義域驗(yàn)證;②函數(shù)f(x)是奇函數(shù),利用奇函數(shù)的定義進(jìn)行判斷;③函數(shù)f(x)的最小值為-lg2,利用基本不等式與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出最值;④當(dāng)0<x<1時(shí),函數(shù)f(x)是增函數(shù);當(dāng)x>1時(shí),函數(shù)f(x)是減函數(shù),求出導(dǎo)數(shù),解出單調(diào)區(qū)間,驗(yàn)證即可.
解答:①函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),令
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/9654.png)
>0,解得x>0,故定義域是(0,+∞),命題正確;
②函數(shù)f(x)是奇函數(shù),由①知,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱,故不是奇函數(shù),命題不正確;
③函數(shù)f(x)的最小值為-lg2,不正確,因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/19965.png' />,最大值是-lg2,故命題不正確;
④當(dāng)0<x<1時(shí),函數(shù)f(x)是增函數(shù);當(dāng)x>1時(shí),函數(shù)f(x)是減函數(shù),命題正確,因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/19966.png' />,令導(dǎo)數(shù)大于0,可解得0<x<1,令導(dǎo)數(shù)大于0,得x>1,故命題正確.
綜上,①④正確
故選C.
點(diǎn)評:本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)解題的關(guān)鍵是熟練掌握對數(shù)的性質(zhì),且能熟練利用這些性質(zhì)對四個(gè)命題作出判斷,本題考查了推理論證的能力以及計(jì)算論證的能力.