Question

11．若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+bx+c有極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁＞x₂），f（x₁）=x₁，則關(guān)于x的方程[f（x）]²+2af（x）+b=0的不同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是3．

Answer 1

分析 首先對(duì)f（x）求導(dǎo)，則關(guān)于x的方程[f（x）]²+2af（x）+b=0，則有f（x）=x₁ 或 f（x）=x₂； 再利用方程的根與圖形交點(diǎn)的關(guān)系來判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：對(duì)f（x）求導(dǎo)得：f'（x）=x²+2ax+b；
f（x）有極值點(diǎn)x₁，x₂ 對(duì)應(yīng)于f'（x）=0的兩個(gè)零點(diǎn)；
關(guān)于x的方程[f（x）]²+2af（x）+b=0，則有f（x）=x₁ 或 f（x）=x₂；
由圖形知y=x₁ 與f（x）有2個(gè)交點(diǎn)；
∵x₁＞x₂，故y=x₂ 與f（x）有1個(gè)交點(diǎn)；
故答案為：3

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了方程與函數(shù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系與根個(gè)數(shù)問題，以及數(shù)學(xué)結(jié)合思想的應(yīng)用，屬中等偏上題．