Question

15．已知函數(shù)$f（x）={e^x}-\frac{1}{2}{x^2}$．設(shè)l為曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)P（x₀，f（x₀））處的切線(xiàn)，其中x₀∈[-1，1]．
（Ⅰ）求直線(xiàn)l的方程（用x₀表示）；
（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，直線(xiàn)x=1分別與直線(xiàn)l和x軸交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，確定切線(xiàn)斜率，即可求直線(xiàn)l的方程（用x₀表示）；
（Ⅱ）表示三角形面積，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求△AOB的面積的最小值．

解答 解：（Ⅰ）對(duì)f（x）求導(dǎo)數(shù)，得f'（x）=e^x-x，[（1分）]
所以切線(xiàn)l的斜率為$f'（{x_0}）={e^{x_0}}-{x_0}$，[（2分）]
由此得切線(xiàn)l的方程為：$y-（{e^{x_0}}-\frac{1}{2}x_0^2）=（{e^{x_0}}-{x_0}）（x-{x_0}）$，
即$y=（{e^{x_0}}-{x_0}）x+（1-{x_0}）{e^{x_0}}+\frac{1}{2}x_0^2$．[（4分）]
（Ⅱ）依題意，切線(xiàn)方程中令x=1，
得 $y=（{e^{x_0}}-{x_0}）+（1-{x_0}）{e^{x_0}}+\frac{1}{2}x_0^2=（2-{x_0}）（{e^{x_0}}-\frac{1}{2}{x_0}）$．[（5分）]
所以 A（1，y），B（1，0）．
所以 ${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|OB|•|y|$=$\frac{1}{2}|（2-{x_0}）（{e^{x_0}}-\frac{1}{2}{x_0}）|$=$|（1-\frac{1}{2}{x_0}）（{e^{x_0}}-\frac{1}{2}{x_0}）|$，x₀∈[-1，1]．[（7分）]
設(shè) $g（x）=（1-\frac{1}{2}x）（{e^x}-\frac{1}{2}x）$，x∈[-1，1]．[（8分）]
則 $g'（x）=-\frac{1}{2}（{e^x}-\frac{1}{2}x）+（1-\frac{1}{2}x）（{e^x}-\frac{1}{2}）=-\frac{1}{2}（x-1）（{e^x}-1）$．[（10分）]
令 g'（x）=0，得x=0或x=1．g（x），g'（x）的變化情況如下表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1
g'（x）		-	0	+
g（x）	$\frac{3}{2}（\frac{1}{2}+\frac{1}{e}）$	↘	1	↗	$\frac{1}{2}（e-\frac{1}{2}）$

所以 g（x）在（-1，0）單調(diào)遞減；在（0，1）單調(diào)遞增，[（12分）]
所以 g（x）_min=g（0）=1，
從而△AOB的面積的最小值為1．[（13分）]

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．