Question

7．已知a、b、c都是正數(shù)，若a+b+c=1，求證：$\frac{1-a}{a}$+$\frac{1-b}$+$\frac{1-c}{c}$≥6．

Answer 1

分析 由a、b、c都是正數(shù)，a+b+c=1，得到$\frac{1-a}{a}$+$\frac{1-b}$+$\frac{1-c}{c}$=$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}$+$\frac{a+b}{c}$=（$\frac{a}$+$\frac{a}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{c}$+$\frac{c}$）運(yùn)用二元均值不等式即可得證

解答 證明：∵a、b、c都是正數(shù)，a+b+c=1，
∴$\frac{1-a}{a}$+$\frac{1-b}$+$\frac{1-c}{c}$=$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}$+$\frac{a+b}{c}$=（$\frac{a}$+$\frac{a}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{c}$+$\frac{c}$）≥2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$+2$\sqrt{\frac{c}{a}•\frac{c}}$+2$\sqrt{\frac{c}•\frac{c}}$=6，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=$\frac{1}{3}$取得等號(hào)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用二元均值不等式，以及不等式的性質(zhì)，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．