Question

已知(

x

+

1

2 x

)n展開(kāi)式的前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列．
（1）求n的值；
（2）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（3）求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，根據(jù)已知條件列出方程2×

C 1 n

2

=

C 0 n

20

+

C 2 n

22

，解方程求出n的值．
（2）由二項(xiàng)展開(kāi)式中中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，根據(jù)n=8時(shí)展開(kāi)式中共有9項(xiàng)，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．
（3）令展開(kāi)式中第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，令

C r 8 2r ≥ C r-1 8 2r-1 C r 8 2r ≥ C r+1 8 2r+1

求出r的值，代入展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即得到展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答：解：（1）Tr+1=

C r n

2r

x

n

2

-r，
2×

C 1 n

2

=

C 0 n

20

+

C 2 n

22

，
解得n=8
（2）因?yàn)槎��?xiàng)展開(kāi)式中中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
因?yàn)閚=8，
所以展開(kāi)式中共有9項(xiàng)，
所以展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)T5=

35

8

（3）令展開(kāi)式中第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，所以

C r 8 2r ≥ C r-1 8 2r-1 C r 8 2r ≥ C r+1 8 2r+1

解得2≤r≤3
∴r=2，3
∴展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為：T₃=7x² ，T₄=7x

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題；考查二項(xiàng)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．