Question

已知p：a∈{a|對(duì)任意x∈R，不等式x²+ax+a＞0恒成立}，q：a∈{a|方程x²+ay²=a表示的是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓}，如果命題“p且q”為假命題，命題“p或q”為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：命題p：對(duì)任意x∈R，不等式x²+ax+a＞0恒成立．可得△＜0，解得a的取值范圍．命題q：方程x²+ay²=a表示的是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，得

x2

a

+y2=1，可得a＞1．
由于命題“p且q”為假命題，命題“p或q”為真命題，可得p、q必然一真一假．

解答： 解：命題p：對(duì)任意x∈R，不等式x²+ax+a＞0恒成立．
則△=a²-4a＜0，解得0＜a＜4，可得a的取值范圍是0＜a＜4．
命題q：方程x²+ay²=a表示的是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，得

x2

a

+y2=1，解得a＞1．
∵命題“p且q”為假命題，命題“p或q”為真命題，
∴p、q必然一真一假，
∴

0＜a＜4 a≤1

或

a≤0或a≥4 a＞1

，
解得0＜a≤1，或a≥4．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是0＜a≤1，或a≥4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、簡易邏輯的判定，屬于基礎(chǔ)題．